10% 오른 금액을 10% 내리면 원래 값으로 돌아올까

100만 원을 10% 올렸다가 다시 10% 내리면 100만 원일 것 같지만, 결과는 99만 원입니다. 처음에는 100만 원의 10%인 10만 원이 늘고, 다음에는 110만 원의 10%인 11만 원이 줄기 때문입니다.

비율 앞의 숫자가 같아도 그 비율을 곱하는 기준금액은 달라질 수 있습니다. 가격·예산·지출 변화를 읽을 때 퍼센트를 그냥 더하고 빼기 전에 매번 어느 금액을 기준으로 하는지 적어야 합니다. 아래 수치는 계약 조건이나 실제 가격 전망이 아닌 산술 예제입니다.

금액으로 풀면 두 번째 10%가 보입니다

한 줄 계산으로는 1,000,000×1.1×0.9=990,000원입니다. ‘인상률 10−인하율 10=0’이라는 계산은 두 비율의 기준이 다른데도 같다고 본 오류입니다. 10%포인트 차이를 구하는 문제와 연속된 가격 변화를 구하는 문제도 구별해야 합니다.

같은 비율을 반대로 적용해 10% 내린 뒤 10% 올려도 1,000,000×0.9×1.1=990,000원입니다. 다만 중간 금액은 각각 90만 원과 110만 원으로 다릅니다. 중간에 정액 비용이나 입출금이 들어간다면 순서를 바꿔도 같다는 결론은 유지되지 않을 수 있습니다.

원래 금액으로 돌아오려면 몇 퍼센트 내려야 할까요?

110만 원에서 100만 원으로 돌아가려면 10만 원을 줄여야 합니다. 이때 기준은 현재 금액 110만 원이므로 필요한 인하율은 100,000÷1,100,000×100=약 9.0909%입니다. 10% 인상의 반대가 반드시 10% 인하는 아닙니다.

반대로 100만 원에서 10% 내려 90만 원이 됐다면, 다시 10만 원을 올려야 합니다. 필요한 인상률은 100,000÷900,000×100=약 11.1111%입니다. 같은 10만 원이라도 현재 금액이 작아 비율은 더 커집니다.

시작 금액을 P, 변화율을 소수 r이라고 하면 r만큼 오른 뒤 원복에 필요한 인하율은 r÷(1＋r)입니다. r만큼 내린 뒤 필요한 인상률은 r÷(1−r)이며, 두 번째 식은 0≤r<1에서만 사용합니다.

변화가 작을 때도 기준을 지우지 않습니다

같은 비율 r로 한 번 오르고 한 번 내리면 배수는 (1＋r)(1−r)=1−r²입니다. 5%씩이면 0.9975배여서 총 0.25% 감소하고, 20%씩이면 0.96배여서 총 4% 감소합니다. 비율이 커질수록 상쇄되지 않는 차이도 커집니다.

이 식은 같은 대상에 연속 비율만 적용하고 정액 할인·세금·입출금이 없다는 조건에서 성립합니다. 업체가 ‘원래 가격 기준 10% 할인’처럼 별도 기준을 명시했다면, 변경 후 금액에 다시 10%를 적용하는 이 사례와 다릅니다. 문구를 확인하지 않은 채 계산 순서를 정하면 안 됩니다.

역산한 비율은 중간에 반올림하지 마세요. 9.0909%는 표시값이며, 정확한 복원 여부는 ‘현재 금액−목표 금액’이라는 원 단위 차액으로 다시 확인합니다.

두 변화를 원 단위로도 적어 두면 검산이 쉽습니다. 인상 뒤 금액에서 처음 금액을 빼고, 인하 뒤 금액에서 직전 금액을 빼세요. 이 두 변화금액을 처음 금액에 더한 값이 마지막 금액과 같아야 합니다.

시작 금액이 0원이면 증가액을 0으로 나누어 증가율을 계산할 수 없습니다. 100% 하락해 0원이 된 값도 유한한 인상률을 곱해 원복할 수 없습니다. 미확인 가격이나 음수 금액을 일반적인 가격 인상·인하 예제에 임의로 넣지 않습니다.

비율이 전체 금액에 붙는지 일부 차액에 붙는지도 확인할 문제입니다. 이번 계산에서도 각 단계 옆에 기준금액, 적용률, 적용 후 금액 세 칸을 남기면 퍼센트 숫자만 보고 판단하는 실수를 줄일 수 있습니다.